2.4 Límites al infinito.

Límites al infinito. 

Objetivo

Fomentar la confianza y autonomía de las personas, al buscar contenido de matemáticas por internet, además de incluir las tic en el fortalecimiento del conocimiento adquirido en clases.

Límite infinito

Observemos la función f(x)=1/x² para valores de x positivos muy grandes.

x	f(x)
100	1,0x10-4
1.000	1,0x10-6
10.000	1,0x10-8
100.000	1,0x10-10
1.000.000	1,0x10-12

Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito.
Veamos a continuación las definiciones precisas de cada uno de los límites que involucran al infinito.

Definición

Límite infinito

Caso 1:

lim_x->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ f(x) > A.

El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A.
En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf.

Caso 2:

lim_x->af(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ f(x) < -A.

Caso 3:

lim_x->+inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) > A.

Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es posible encontrar un número positivo B tal que para todos los x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es decir que f(x) puede ser mayor que cualquier número, si x es lo suficientemente grande.

Caso 4

lim_x->+inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) < -A.

Caso 5:

lim_x->-inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) > A.

Caso 6:

lim_x->-inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) < -A.

Caso 7:

lim_x->+inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) pertenece al E_b,ε.

Caso 8:

lim_x->-inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) pertenece al E_b,ε.

Fuente: Límite infinito Observemos la función f(x)=1/x2 para valores de x positivos muy grandes. x f(x) 100 1,0x10-4 1.000 1,0x10-6 10.000 1,0x10-8 100.000 1,0x10-10 1.000.000 1,0x10-12 Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito. Ilustración geométrica del límite infinito Veamos a continuación las definiciones precisas de cada uno de los límites que involucran al infinito. Definición Límite infinito Caso 1: limx->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > A. El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A. En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf. lim f(x) = +inf cuando x->a Caso 2: limx->af(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) < -A. lim f(x) = -inf cuando x->a Caso 3: limx->+inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) > A. lim f(x) = +inf cuando x->+inf Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es posible encontrar un número positivo B tal que para todos los x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es decir que f(x) puede ser mayor que cualquier número, si x es lo suficientemente grande. Caso 4 limx->+inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) < -A. lim f(x) = -inf cuando x->+inf Caso 5: limx->-inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) > A. lim f(x) = +inf cuando x->-inf Caso 6: limx->-inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) < -A. lim f(x) = -inf cuando x->-inf Caso 7: limx->+inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) pertenece al Eb,ε. lim f(x) = b cuando x->+inf Caso 8: limx->-inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) pertenece al Eb,ε. lim f(x) = b cuando x->-inf