4.3 Diferenciación implícita.

Diferenciación implícita.

Objetivo
Fomentar la confianza y autonomía de las personas, al buscar contenido de matemáticas por internet, además de incluir las tic en el fortalecimiento del conocimiento adquirido en clases.

Recordemos que si $y=f(x)$ es una función desconocida de $x$ que suponemos derivable, entonces podemos derivar $y^n$ implícitamente utilizando la regla de la cadena
$\dfrac{d}{dx}y^n=ny^{n-1}\dfrac{dy}{dx}$ ,
y en caso de tener que derivar expresiones del tipo $\dfrac{x^2y^3}{x+y^2}$ , con respecto de $x$ , las reglas de derivación (de un producto, cociente, etc.) se siguen aplicando.

Veamos dos ejemplos más donde apliquemos diferenciación implícita
Encuentra las rectas tangentes y normal a la curva en el punto dado para
1. $\left(x^2+y^2\right)^2=(x-y)^2$ en $(-2,1)$
2. $x\text{sen}2y=y\text{cos}2x$ en $\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$
Entonces, derivando ambos lados de la expresión 1 con respecto a $x$
$\dfrac{d}{dx}\left(x^2+y^2\right)^2=\dfrac{d}{dx}(x-y)^2$
$2\left(x^2+y^2\right)\dfrac{d}{dx}\left(x^2+y^2\right)=2(x-y)\dfrac{d}{dx}(x-y)$
$2\left(x^2+y^2\right)\left(2x+2y\dfrac{dy}{dx}\right)=2(x-y)\left(1-\dfrac{dy}{dx}\right)$
Simplificando y agrupando términos
$2x\left(x^2+y^2\right)+2y\left(x^2+y^2\right)\dfrac{dy}{dx}=x-y-(x-y)\dfrac{dy}{dx}$
$\left(2yx^2+2y^3+x-y\right)\dfrac{dy}{dx}=x-y-2x^3-2xy^2$
de donde obtenemos
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x-y-2x^3-2xy^2}{2yx^2+2y^3+x-y}$
Evaluando la derivada en el punto dado obtenemos la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto
$\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{(-2,1)}=\dfrac{-2-1-2(-2)^3-2(-2)(1)^2}{2(1)(-2)^2+2(1)^3-2-1}=\dfrac{17}{7}$
Sustituyendo la pendiente y el punto en la forma punto pendiente de la ecuación de una recta se obtiene la ecuación de la recta tangente en el punto
$y-1=\dfrac{17}{7}(x+2)$
que podemos reescribir como $17x-7y+41=0$
Para encontrar la pendiente de la recta ortonormal utilizamos el hecho de que dos rectas con pendientes $m_1$ y $m_2$ son perpendiculares si $m_1=-\dfrac{1}{m_2}$ Entonces la pendiente de la recta normal es $m=-\dfrac{7}{17}$ y
$y-1=-\dfrac{7}{17}(x+2)$ es la ecuación buscada.
Derivando implícitamente la segunda función
$\dfrac{d}{dx}x\text{sen}2y=\dfrac{d}{dx}y\text{cos}2x$
$\text{sen}2y+2x\text{cos}2y\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dx}\text{cos}2x-2y\text{sen}2x$
Agrupando términos
$(2x\text{cos}2y-\text{cos}2x)\dfrac{dy}{dx}=-(2y\text{sen}2x+\text{sen}2y)$
Despejando la derivada
$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2y\text{sen}2x+\text{sen}2y}{2x\text{cos}2y-\text{cos}2x}$
Evaluando en el punto
$\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{(\pi/4,\pi/2)}=-\dfrac{\pi}{-\frac{\pi}{2}}=2$
La pendiente de la recta normal es entonces $m=-\dfrac{1}{2}$
y las ecuaciones de las rectas tangente y normal son
$2x-y=0$ y $4x+8y-5\pi=0$ , respectivamente.

Fuente: https://calculouam.wordpress.com/2011/03/23/diferenciacion-implicita/

Matemáticas 1

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denisse

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